মৌলিক সংখ্যার মডুলো ব্যবস্থায় সংখ্যার অর্ডার এবং প্রিমিটিভ রুটের ধারণা গণিতে বেশ গুরুত্বপূর্ণ। রাতুলের সঙ্গে আলাপের সময় অঙ্ক ভাইয়া বিষয়টি পরিষ্কার করেন। আলোচনার শুরুতে রাতুল প্রশ্ন তোলে যে, একই মডুলোর জন্য সব সংখ্যার অর্ডার কি সমান হয়? উদাহরণস্বরূপ, ৭ মডুলোতে ২-এর অর্ডার কত? অঙ্ক ভাইয়া হেসে রাতুলের পিঠ চাপড়ে দিলেন, ‘এটাই প্রিমিটিভ রুটের আসল ক্ষমতা।

মডুলো এবং অর্ডারের হিসাব

• ২^১ = ২ ≡ ২ (মড ৭)
• ২^২ = ৪ ≡ ৪ (মড ৭)
• ২^৩ = ৮ ≡ ১ (মড ৭)

এই হিসাব অনুযায়ী ২-এর অর্ডার ৩। অঙ্ক ভাইয়া ফার্মার লিটল থিওরেম ব্যাখ্যা করে বলেন, কোনো মৌলিক সংখ্যা p-এর ক্ষেত্রে gcd(a, p) = ১ হলে, a^(p-১) ≡ ১ (মড p) হবেই। অর্থাৎ, কোনো সংখ্যার অর্ডার সর্বোচ্চ (p-১) হতে পারে। ​​​2​​ 1​=2≡2 ​(​​mod 7​)​​​​, ​​​2​​ 2​=4≡4 ​(​​mod 7​)​​​​, ​​​2​​ 3​=8≡1 ​(​​mod 7​)​​​​। ‘দেখেছিস? ​2​-এর ক্ষেত্রে কিন্তু মাত্র ​3​ নম্বর ধাপেই ভাগশেষ ​1​ চলে এসেছে। অর্থাৎ ​​​ord​ 7​​​(​​2​)​​ = 3​​’, অঙ্ক ভাইয়া ব্যাখ্যা করলেন। ‘এখান থেকে আসে Fermat’s Little Theorem। ‘তার মানে ​7​ যেহেতু একটি মৌলিক সংখ্যা, এর জন্য যেকোনো সংখ্যার সর্বোচ্চ সম্ভাব্য অর্ডার হতে পারে ​7-1 = 6​’, রাতুল বলল। ‘তবে এখানে একটা বিশাল ‘কিন্তু’ আছে রাতুল। ‘চল একটা উদাহরণ দেখি,’ অঙ্ক ভাইয়া খাতায় ​n = 8​ লিখলেন। ‘মডুলো ​8​-এর দুনিয়ায় ​8​-এর চেয়ে ছোট ও এর সঙ্গে সহমৌলিক সংখ্যা কোনগুলো?’। ‘​1, 3, 5,​ আর ​7​,’ রাতুল ঝটপট বলল। ‘তার মানে মোট ​4​টি সংখ্যা। অয়লারের Totient ফাংশন অনুযায়ী ​​φ​(​​8​)​​ = 4​​।’। কিন্তু তুই যদি ​3, 5, 7​-এর পাওয়ার করিস, দেখবি চমৎকার এক কাণ্ড:’। ​​​3​​ 2​ = 9 ≡ 1 ​(​​mod 8​)​​ ⇒ ​ord​ 8​​​(​​3​)​​ = 2​​। ​​​5​​ 2​ = 25 ≡ 1 ​(​​mod 8​)​​ ⇒ ​ord​ 8​​​(​​5​)​​ = 2​​। ​​​7​​ 2​ = 49 ≡ 1 ​(​​mod 8​)​​ ⇒ ​ord​ 8​​​(​​7​)​​ = 2​​। সবাই মাঝপথেই, পাওয়ার ​2​–এ, ​1​ হয়ে বসে আছে। ‘আচ্ছা, একটা দারুণ প্রবলেম দেখ,’ অঙ্ক ভাইয়া হাসলেন। ‘ধর তোকে প্রমাণ করতে দিল: যদি ​p​ একটি মৌলিক সংখ্যা হয়, তবে। তাহলে আমরা যদি ​1​ থেকে ​p – 1​ পর্যন্ত সব কটি সংখ্যা গুণ করি, তা আসলে ​g​-এর পাওয়ারগুলো গুণ করার সমান!’।

যে সংখ্যাগুলো এই সর্বোচ্চ সীমাকে স্পর্শ করে, তাদেরই বলা হয় প্রিমিটিভ রুট।

সহজভাবে বললে, যদি কোনো সংখ্যা g একটি মৌলিক সংখ্যা p-এর মডুলোতে চক্র তৈরি করে যার অর্ডার ঠিক (p-১) হয়, তবে তাকে প্রিমিটিভ রুট বলা হয়।

তবে সব সংখ্যার জন্য প্রিমিটিভ রুট থাকে না।

যেমন ৮-এর ক্ষেত্রে এটি কাজ করে না, কারণ ৮ যৌগিক সংখ্যা।

গাণিতিকভাবে প্রমাণিত যে, কেবল ২, ৪, p^k অথবা ২*p^k আকারের সংখ্যার জন্যই প্রিমিটিভ রুট বিদ্যমান, যেখানে p একটি বিজোড় মৌলিক সংখ্যা।

প্রিমিটিভ রুটের সাহায্যে উপপাদ্য প্রমাণ

অঙ্ক ভাইয়া প্রিমিটিভ রুট ব্যবহার করে উইলসনস থিওরেম প্রমাণ করে দেখান। উইলসনস থিওরেম অনুযায়ী: (p-১)! ≡ -১ (মড p)। প্রমাণের ধাপগুলো নিচে দেওয়া হলো

• প্রথমে ধরা হয় g একটি প্রিমিটিভ রুট। তখন g, g^২, g^৩,…, g^(p-১) সংখ্যাগুলো ঘুরিয়ে-ফিরিয়ে ১ থেকে (p-১) পর্যন্ত মানগুলোই নির্দেশ করে।
• গুণফল হিসেবে পাওয়া যায়: (p-১)! ≡ g^(১+২+৩+…+(p-১)) = g^(p(p-১)/২) (মড p)।
• ফার্মার লিটল থিওরেম অনুযায়ী, (g^((p-১)/২))^২ ≡ ১ (মড p)।
• যেহেতু g একটি প্রিমিটিভ রুট, তাই g^((p-১)/২) ≡ -১ (মড p) হওয়া অনিবার্য।
• মূল সমীকরণে মান বসিয়ে পাওয়া যায়: (p-১)! ≡ (-১)^p ≡ -১ (মড p) (যেহেতু p একটি বিজোড় মৌলিক সংখ্যা)।

এই হিসাবের মাধ্যমে এটিও প্রমাণ করা যায় যে ১^২ * ২^২ * ৩^২ *… * (p-১)^২ ≡ ১ (মড p)। রাতুল এই সহজ সমাধানে অভিভূত হয়। অঙ্ক ভাইয়া বলেন, প্রিমিটিভ রুট হলো মৌলিক সংখ্যার দুনিয়ার সেই চাবিকাঠি যা পুরো সিস্টেমের ভাগশেষের তালা খুলে দিতে সক্ষম। এই পুরো বিষয়টি বাংলাদেশ গণিত অলিম্পিয়াড কমিটির সহায়তায় উপস্থাপিত হয়েছে।

গুরুত্বপূর্ণ তথ্য

• রাতুলের চোখ চকচক করে উঠল, ‘ওহ! তার মানে:’।
• ​​​(​​p – 1​)​​​​-এর আগে কখনো ​1​ হওয়া সম্ভব নয়, কারণ তার অর্ডারই তো।
• রাতুল খাতার দিকে তাকিয়ে তাজ্জব বনে গেল, ‘উফ ভাইয়া! এত বড় একটা প্রমাণ, প্রিমিটিভ রুটের এই পাওয়ারের ধারা দিয়ে এক লাইনে।